11. Rétroaction et oscillations.

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Sources

PPT source: https://agreg-remigereau.e-monsite.com/medias/files/lp22-diaporama-hermine.pdf

Pour l'oscillateur de Wien: Bellier ou http://prfphy1.fr/lycee/ATS/TP/oscillateurWien.pdf

Animation vase de tentale pour voir ce que c'est: https://ressources.univ-lemans.fr/AccesLibre/UM/Pedago/physique/02/divers/tantale.html

Code

Refaire les diagrammes de Bode. Prendre un point en direct. Retrouver la fréquence propre du filtre de Wien expérimentalement et théoriquement

Attention, le dernier diagramme de Bode correspond à l'étude du filtre de Wien seul, sans le montage ampli non inverseur (donc le filtre et pas l'oscillateur). Prendre plus de points pour obtenir les assymptotes.

In [19]:

import numpy as np
import numpy.random as npr
import matplotlib.pyplot as plt
from scipy.optimize import curve_fit
from scipy.integrate import odeint
from scipy import signal
import pandas as pd

In [114]:

# Definition de la fonction affine
def f_aff(x, a, b):
    return a*np.log10(x)+b

# Montecarlo
def montecarlo(X, Y, uX, uY, N_mc=100, color='r', mini=None, maxi=None):
    
    sigma_X = uX*np.ones(X.size)
    sigma_Y = uY*np.ones(Y.size)

    param = np.zeros((2,N_mc))
    for i in range(N_mc):
        x_mc = npr.normal(loc=X, scale=sigma_X)
        y_mc = npr.normal(loc=Y, scale=sigma_Y)
        pop, pcov = curve_fit(f_aff, x_mc, y_mc)
        param[0,i] = pop[0]
        param[1,i] = pop[1]
        
    #mini = mini if mini else X.min()
    #maxi = maxi if maxi else X.max()
    #x_th = np.linspace(mini, maxi, 4)
    # y_th = f_aff(x_th, *pop)
    # for i in range(N_mc):
        # y_th = f_aff(x_th, *param[:,i])
        # plt.plot(x_th, y_th, color, alpha=0.05)
    #plt.errorbar(X, Y, xerr=uX, yerr=uY, fmt='+', capsize=2, color=color)
    # plt.show()
    
    a_moy = np.mean(param[0,:])
    b_moy = np.mean(param[1,:])
    x = np.linspace(list(X)[0],list(X)[len(X)-1],100)
#    plt.plot(x,f_aff(x,a_moy,b_moy),'b--')

#    a_moy = np.mean(param[0,:])
#    print("La pente moyenne sur les ", N_mc, "mesures est de :", np.round(a_moy,4))
    a_sig = np.std(param[0,:]) #ecart type
    b_sig = np.std(param[1,:]) #ecart type
#    print("L'écart type entre les pentes des", N_mc, "mesures est de :", np.round(a_sig,4))
#    print("Le résultat est donc de :", f"a = {a_moy:.3f} +/- {a_sig:.3f}")
#    print("Cela correspond à une erreur de:", f"a_rel = {a_sig/a_moy*100:.0f} %")
    return (a_moy, a_sig, b_moy, b_sig)

Diagramme de Bode d'un AOP¶

$$\underset{\bar{}}\mu(\omega) = \frac{\mu_0}{ 1 + j\omega\tau_0} $$ $$\underset{\bar{}}\mu(p) = \frac{\mu_0}{ 1 + \tau_0p}$$

In [6]:

# Données
mu0 = 2e5
tau0 = 3e-2  # en s

# Fonction de transfert
ft = signal.lti([mu0], [tau0, 1])

# Calcul du diagramme de Bode
omega = np.logspace(0.8, 6, 1000)
w, mag, phase = signal.bode(ft, w=omega)

# Affichage
plt.subplot(211)
plt.title('Diagrammes de Bode')
plt.semilogx(w, mag, lw=2)    # Amplitude
#plt.xlabel('Pulsation (rad/s)')
plt.ylabel('Amplitude (dB)')
plt.grid(which='both')

plt.subplot(212)
plt.semilogx(w, phase)  # Phase
plt.xlabel('Pulsation (rad/s)')
plt.ylabel('Phase (deg)')
plt.grid(which='both')

plt.tight_layout()  # Ajuster le placement des courbes
plt.show()

Diagramme de Bode du montage amplificateur non inverseur¶

$$\underset{\bar{}}H(\omega) = \frac{H_0}{ 1 + j\omega\tau_{BF}} $$ $$ \text{avec:} \hspace{0.5cm} H_0 = \frac{\mu_0}{ 1 + \frac{R_1}{R_1 + R_2}\mu_0} \approx 1 + \frac{R_2}{R_1} \text{ (avec }\mu_0R_1 >> R_1 + R_2) \hspace{0.5cm} \text{et:} \hspace{0.5cm} \tau_{BF} = \frac{H_0\tau_0}{\mu_0}$$ $$\underset{\bar{}}H(p) = \frac{H_0 }{ 1 + \tau_{BF}p}$$

In [33]:

# Données
R1 = 487  # en ohm
R2 = 997 # en ohm

H0 = mu0 / (1 + mu0 * R1/(R1 + R2))  # gain de l'AOP
tauBF = H0 * tau0 / mu0

In [40]:

# Fonction de transfert
ft = signal.lti([H0], [tauBF, 1])

# Calcul du diagramme de Bode théorique
omega = np.logspace(2, 7, 1000)
w, mag, phase = signal.bode(ft, w=omega)

In [42]:

# Diagramme de Bode expérimental
df = pd.DataFrame({'f [Hz]' : [], 
                   'ue [V]' : [],
                   'us [V]' : [],
                   'phi [deg]' : []},
                  index = [1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9],
                  columns = ['f [Hz]','ue [V]','us [V]','phi [deg]'])

df['omega [rad/s]'] = [df['f [Hz]'][i]*2*np.pi for i in df.index]
df['G [dB]'] = [20 * np.log10(df['us [V]'][i]/df['ue [V]'][i]) for i in df.index]

In [43]:

# Affichage
plt.subplot(211)
plt.title('Diagrammes de Bode')
plt.semilogx(df['omega [rad/s]'], df['G [dB]'],'+')
plt.semilogx(w, mag, lw=2)    # Amplitude
#plt.xlabel('Pulsation (rad/s)')
plt.ylabel('Amplitude (dB)')
plt.grid(which='both')

plt.subplot(212)
plt.semilogx(df['omega [rad/s]'],df['phi [deg]'],'+')
plt.semilogx(w, phase)  # Phase
plt.xlabel('Pulsation (rad/s)')
plt.ylabel('Phase (deg)')
plt.grid(which='both')

plt.tight_layout()  # Ajuster le placement des courbes
plt.show()

Diagramme de Bode du filtre de l'oscillateur de Wien¶

$$\underset{\bar{}}H(\omega) = \frac{\frac{1}{3}}{\left(1 + jQ(\frac{\omega}{\omega_0} - \frac{\omega_0}{\omega})\right)} \hspace{0.5cm} \text{avec:} \hspace{0.5cm} Q = \frac{1}{3}$$ $$\underset{\bar{}}H(p) = \frac{\tau p}{\tau^2 p^2 + 3\tau p + 1}$$

In [50]:

# Données
R = 2.2e3  # en ohm
#uR = 0.1e3  # en ohm

C = 100e-9  # en F
# uC = 0.1e-9  # en F

tau = R * C  # en s

In [51]:

# Diagramme de Bode expériemental
df = pd.DataFrame({'f [Hz]' : [], 
                   'ue [V]' : [],
                   'us [V]' : [],
                   'phi [deg]' : []},
                  index = [1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9],
                  columns = ['f [Hz]','ue [V]','us [V]','phi [deg]'])

df['omega [rad/s]'] = [df['f [Hz]'][i]*2*np.pi for i in df.index]
df['G [dB]'] = [20 * np.log10(df['us [V]'][i]/df['ue [V]'][i]) for i in df.index]

In [52]:

# Fonction de transfert
ft = signal.lti([tau, 0], [tau**2, 3 * tau, 1])

# Calcul du diagramme de Bode
omega = np.logspace(0.8, 6, 1000)
w, mag, phase = signal.bode(ft, w=omega)

In [140]:

# Affichage
plt.subplot(211)
plt.title('Diagrammes de Bode')
plt.semilogx(df['omega [rad/s]'], df['G [dB]'],'+')
plt.semilogx(w, mag)    # Amplitude
plt.ylabel('Amplitude (dB)')
plt.grid(which='both')

# Régressions linéaires
a_moy1, a_sig1, b_moy1, b_sig1 = montecarlo(df['omega [rad/s]'][:3], df['G [dB]'][:3], 0 , 0.1)
a_moy2, a_sig2, b_moy2, b_sig2 = montecarlo(df['omega [rad/s]'][5:7], df['G [dB]'][5:7], 0 , 0.1)
plt.semilogx(np.linspace(10, 10000), a_moy1 * np.log10(np.linspace(10, 10000)) + b_moy1, 'r--')
plt.semilogx(np.linspace(1000, 1000000), a_moy2 * np.log10(np.linspace(1000, 1000000)) + b_moy2, 'r--')

plt.subplot(212)
plt.semilogx(df['omega [rad/s]'],df['phi [deg]'],'+')
plt.semilogx(w, phase)  # Phase
plt.xlabel('Pulsation (rad/s)')
plt.ylabel('Phase (deg)')
plt.grid(which='both')

plt.tight_layout()  # Ajuster le placement des courbes
plt.show()

In [142]:

# Calcul de omega0_exp à l'intersection des deux régressions linéaires
omega0_exp = 10**((b_moy2 - b_moy1)/(a_moy1 - a_moy2))

print("La fréquence de résonnance expérimentale vaut: f0_exp =", np.round(omega0_exp/(2*np.pi), 2), "Hz")
print("La fréquence de résonnance théorique vaut: f0_th =", np.round(1/(tau * 2*np.pi), 2), "Hz")

La fréquence de résonnance expérimentale vaut: f0_exp = 658.18 Hz
La fréquence de résonnance théorique vaut: f0_th = 723.43 Hz

Date de dernière mise à jour : 13/06/2024