08. Phénomènes de transport.

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A RAJOUTER

Pour être sur d'être en régime permanent, allumer le chauffage et mettre le bout du barreau dans l'eau glacée, puis relever toutes les valeurs de températures toutes les 3 mins.

Tracer les courbes d'évolution des températures en fonction du temps.

In [36]:

import numpy as np
import numpy.random as npr
import matplotlib.pyplot as plt
from scipy.optimize import curve_fit
from scipy.integrate import odeint

In [37]:

# Definition de la fonction affine
def f_aff(x, a, b):
    return a*x+b

# Montecarlo

def montecarlo(X, Y, uX, uY, N_mc=100):
    sigma_X = uX*np.ones(X.size)
    sigma_Y = uY*np.ones(Y.size)

    param = np.zeros((2,N_mc))
    for i in range(N_mc):
        x_mc = npr.normal(loc=X, scale=sigma_X)
        y_mc = npr.normal(loc=Y, scale=sigma_Y)
        pop, pcov = curve_fit(f_aff, x_mc, y_mc)
        param[0,i] = pop[0]
        param[1,i] = pop[1]

    x_th = np.linspace(X.min(), X.max(), 4)
    y_th = f_aff(x_th, *pop)
    for i in range(N_mc):
        y_th = f_aff(x_th, *param[:,i])
        plt.plot(x_th, y_th, 'r', alpha=0.05)
    plt.errorbar(X, Y, xerr=uX, yerr=uY, fmt='+', capsize =3)
    #plt.show()

    a_moy = np.mean(param[0,:])
    a_sig = np.std(param[0,:]) #ecart type
    b_moy = np.mean(param[1,:])
    b_sig = np.std(param[1,:]) #ecart type
    print("La pente moyenne sur les ", N_mc, "mesures est de :", np.round(a_moy,4))
    print("L'écart type entre les pentes des", N_mc, "mesures est de :", np.round(a_sig,4))
    print("Le résultat est donc de :", f"a = {a_moy:.3f} +/- {a_sig:.3f}")
    print("Cela correspond à une erreur de:", f"a_rel = {a_sig/a_moy*100:.0f} %")
    return a_moy, a_sig, b_moy, b_sig

Diffusion thermique de l'aluminium¶

Valeur majorée¶

$$j_{th\_max} = \frac{IU}{S} = -\lambda \frac{\partial T}{\partial x} \hspace{0.5cm}\text{d'où:} \hspace{0.5cm} \lambda = - \frac{UI}{S a_{moy}}$$

In [42]:

# Données
R = 2  # en ohm - résistance du "haut" du barreau

S = 5.23e-4  # en m2
uS = 0.02e-4  # en m2

U = 4.0  # en V
uU = 0.1  # en V

I = 3.75  # en A
uI = 0.1  # en A

T = np.array([]) + 273.15  # en K - température des différents thermocouples du barreau
uT = 1  # en K

x = np.array([5e-2, 12e-2, 19e-2, 26e-2, 33e-2])  # en m - positions des thermocouples le long du barreau
ux = 1e-3  # en m

# Représentation graphique et Monte Carlo
plt.figure()
a_moy, a_sig, b_moy, b_sig = montecarlo(x, T, ux, uT, N_mc=100)  # a_moy
plt.xlabel('x (en m)')
plt.ylabel('T (en K)')
plt.title('Température du bareau en fonction de la position des thermocouples')
plt.show()

# Calcul de lambda majoré
lambda_exp = - U * I / (S * a_moy)
ulambda_exp = lambda_exp * np.sqrt((uU/U)**2 + (uI/I)**2 + (uS/S)**2 + (a_sig/a_moy)**2)

lambda_th = 237  # en W.m-1.K-1

print('La valeur expérimentale majorée de lambda est: lambda_exp = ', np.round(lambda_exp, 2), '+/-', np.round(ulambda_exp, 2), ' W.m-1.K-1')
print('La valeur théorique de lambda est: lambda_th = ', np.round(lambda_th, 2), ' W.m-1.K-1')

La pente moyenne sur les  100 mesures est de : -115.4761
L'écart type entre les pentes des 100 mesures est de : 4.5138
Le résultat est donc de : a = -115.476 +/- 4.514
Cela correspond à une erreur de: a_rel = -4 %

La valeur expérimentale majorée de lambda est: lambda_exp =  248.37 +/- 13.33  W.m-1.K-1
La valeur théorique de lambda est: lambda_th =  237  W.m-1.K-1

Valeur minorée¶

$$j_{th\_min} = \frac{L_{f, glace}m_{glace}}{\Delta t S} = -\lambda \frac{\partial T}{\partial x} \hspace{0.5cm}\text{d'où:} \hspace{0.5cm} \lambda = - \frac{L_{f, glace}m_{glace}}{\Delta t S a_{moy}}$$

In [41]:

# Données
m = np.array([11.4e-3])  # en kg - masse d'un glaçon sec  6.6e-3,
um = 0.1e-3  # en kg

dt = np.array([4.5 * 60])   # en s - temps de fonte d'un glaçon 6.5* 60, 
udt = 5  # en s

Lfglace = 333.55e3  # en kJ/kg

# Calcul de lambda minoré
lambda_exp2 = - Lfglace * m.mean() / (dt.mean() * S * a_moy)
ulambda_exp2 = lambda_exp * np.sqrt((um/m.mean())**2 + (udt/dt.mean())**2 + (uS/S)**2 + (a_sig/a_moy)**2)

lambda_th = 237  # en W.m-1.K-1

print('La valeur expérimentale majorée de lambda est: lambda_exp_maj = ', np.round(lambda_exp, 2), '+/-', np.round(ulambda_exp, 2), ' W.m-1.K-1')
print('La valeur expérimentale minorée de lambda est: lambda_exp_min = ', np.round(lambda_exp2, 2), '+/-', np.round(ulambda_exp2, 2), ' W.m-1.K-1')
print('La valeur théorique de lambda est: lambda_th = ', np.round(lambda_th, 2), ' W.m-1.K-1')

La valeur expérimentale majorée de lambda est: lambda_exp_maj =  248.23 +/- 14.19  W.m-1.K-1
La valeur expérimentale minorée de lambda est: lambda_exp_min =  233.06 +/- 12.04  W.m-1.K-1
La valeur théorique de lambda est: lambda_th =  237  W.m-1.K-1

Date de dernière mise à jour : 13/06/2024